均值不等式的推广到n的证明，均值不等式的推广到n的证明数学归纳法？

2022年的高考已经落下帷幕，对于今年的新1卷数学试题，全网可以说是一片喊难声，都说“作文的本手，妙手和俗手，都比不上数学题的无从下手”，甚至都搜出了命题人对其口诛笔伐！那么这套高考题到底难不难，难在哪里，我们不妨分类做一解析，如果将整个试题分为三类，大致如下：

第一类，基础题，应该是1、2、3、4、5、6、9、10、11、13、14、15共12道选择和填空题，17、19两道解答题，20题的（1）和（2）的第二问（大约8分），累计分值：90分。

在以上题目中，1-5题，9、13、14题以及20题的（1）和（2）中的第二问，只要完成最基本的高中数学学习的学生，都是应该没有任何问题的，其它的像6、10、11、15和解答题中的17、19题，只要是经历了高三复习的同学，都是司空见惯的题型，正确且快速地解决应该没有问题，那么完成以上题目即可得到90分。所以说，只要是在高中期间认真跟班学习的同学都能拿到90分的垫底分，这就是我们常说的一套试卷中的基础得分，关键是你能把握住吗？

第二类，中档题，8、12、16、18、20题（2）的第一问、21题（1）（大约6分）和22题（1）（大约5分）累计分值：约42分。

这类六道题中，每个都有一定的思维量，其中最难的应该是12题的图象特征题了，最不容易得分的要算是21（1）了。但是这些题型在平时的讲练和考试中基本上都有所涉及，也算是常见题型，一般来说，对于重点高中的学生，前三分之二的学生也都应该经过思考后能够解决或者解决大部分题目，但是第21题改变了以往的风格，第一问就是过去的第二问，运算量较大，方法灵活，而且需要二元二次多项式的因式分解，一般多数会有解题思路，但不容易得到正确结果，就是我们常说的进入容易出来难的题目。这部分题目应该能拿到25-30分吧？

第三类，难题：7、21（2）、22（2），这三道题或者思维能力要求比较高，或者运算及转化能力要求比较高，一般都不容易得分，属于难题，累计分值：约18分。

这三道题应该都属于难题了，第7题需要根据所给数值的结构去构造三个不同的函数，再利用导数研究三个函数的单调性并比较大小，这类题目虽然平时也总接触到，但是在考场上的特定时间和特定环境下要想顺利解决肯定有难度，21（2）题型比较特殊，不容易想到解决思路，至于22（2）平时也是被多数学生所放弃的，属于正常现象。除了第7题可能蒙对以外，即使对于一些重点高中的学生，这18分也只能留给前20%甚至只能是前10%的学生去碰运气了，一般对它就不抱什么指望了。

综合以上分析，我觉得今年的数学试题确实比起往年来有变化，无论是题型上还是难度的增加上，但也并非像网上所评论的那样难的无从下手，只是梯度增加了，解题灵活度增加了，但是入门的基础题照样还是很简单的，而且分值也不算少，尤其是四个填空题，都很简单，即便是压轴的16题，也不算难题，应该难的题目也在意料之中，比如8题、12题、16题（比正常情况下还简单）、22题四道压轴题，本来每年也都是这样，每套试卷也都这样。感觉有变化的就是7题，18题，21题这三道题不太正常，有难度，有些出乎预料，21题题型有变化，18题不会用半角公式的话推导两角关系比较麻烦。但是数列题和立体几何题难度要低于往年，20题统计概率题就是一个证明可能不好证出来，另外的两个问题（大约8分）都低于往年。所以，只要能够在考场上心态平和，沉着应对危局，科学合理地安排答题顺序，去掉可能的失误丢分，重点高中的学生应该能有一半以上的能够拿到110分以上吧？平均分也应该在100分左右吧？怎么也不会低于90吧？相对于我们平时的考试，这种难度不算是没有体验过吧？在现在这种高考形势下，这种平均分应该也是可以出现的，只是比近几年低一些，试题难度提高，平均分降低，录取分数线也会相应降低，所以心态最重要。

那么面对这套试卷，给我们留下什么样的思考呢？

1.抓基础知识教学和基本能力训练永远是正确的

前面分析了有90分的题目是不需要太复杂的思维和运算就能得分的，我们能保证绝大多数学生能够拿到这90分吗？平时付出大量时间和精力的高难度训练能够给这次考试中的多少人提高多少分？

2.平时教学中的基本结论很有用

平时教学中经常向学生强调基本结论在解题的作用，从这次考试中也得到了体现，如3题的向量爪子定理的应用，10题的三次函数图象对称中心，14题的根轴方程等。

3.适度拓展知识的必要性

在教学中我们经常给学生适度地拓展一些知识，还是很有必要的，比如均值不等式的推广，三角公式的推广等，例如18题，如果能够掌握半角的正切公式，就可以非常简单地由条件推出角A和角B的关系，这样就可以很容易的解决两个问题了，但是如果直接用正余弦形式展开变形，是不是就比较麻烦了？

4.培养学生解题中的观察习惯很有必要

数学试题的编造，无论是数值还是图形，在一定程度上都可能存在一定的巧合，如果注意到它的巧合性，特殊性，就可能很快找到解题的思路，防止一味地盲目推导。例如16题的离心率，就隐含给出了三角形AF1F2等边的特征，从而发现所求三角形ADE的周长其实就等于三角形DEF2的周长4a,使得问题变的非常简单了，是几个压轴题中最简的一个。18题中，如果注意观察所给条件等式的结构，也可以马上联想到半角正切公式的结构特征，就可以很轻松地找到两个角A、B的关系，甚至，在22题中，面对着函数ex-x和x-lnx的特殊结构，也就容易想到同构法解题了。

5.复习备考中应该注意培养学生的解题灵活性

从这套试题看，很注重对学生解题灵活性的考查，如果总是像八股文一样去套题型，会做的题目也可能会陷入被动，解不出正确答案，例如21题第一问，如果按照一般思路就会设直线l的方程，代入得到一元二次方程，利用韦达定理去处理，运算量比较大，而且最后如果看不出因式分解，就会半途而废，如果换一种思路，设直线PA和QA的方程再代入，运算量就会减少一些，最重要的是这种方法会大概率得到正确答案。

6.锻炼学生的应考应变能力非常重要

目前正面临教材与高考双改革的时期，高考题的变化是预料之中的事情，无论考前怎么准备，考场上都可能会出现预料之外的问题，面对着这些新问题，怎样培养学生以不变应万变的能力就显得更为重要了，这一不变就是永远要会筛选会做的题目首先完成，不被试题的题型变化、排序变化和难度变化而影响心态，像今年这样有一定难度和变化的试题，如果能够沉着冷静地认真筛选题目，是完全可以获得一个不错的相对高分的。

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